STIMIT-KAWP

• by admin
• 0
• Posted on Oktober 5, 2025

Menguasai Konsep Himpunan: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal SMP Kelas 7 Semester 1

Himpunan, sebuah konsep fundamental dalam matematika, seringkali menjadi materi awal yang diperkenalkan di jenjang Sekolah Menengah Pertama (SMP). Di kelas 7 semester 1, pemahaman tentang himpunan menjadi kunci untuk memahami berbagai topik matematika selanjutnya. Himpunan bukan sekadar kumpulan benda, melainkan dasar untuk logika, teori bilangan, dan bahkan konsep-konsep yang lebih kompleks.

Meskipun terdengar sederhana, terkadang siswa merasa kesulitan dalam memahami berbagai notasi, operasi, dan cara penyajian himpunan. Artikel ini hadir untuk menjadi sahabat belajar Anda. Kita akan mengupas tuntas konsep himpunan, mulai dari pengertian dasar, cara menyatakan himpunan, hingga berbagai operasi yang melekat padanya. Yang terpenting, kita akan menyajikan berbagai contoh soal yang relevan dengan kurikulum SMP kelas 7 semester 1, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah.

Mari kita selami dunia himpunan dan jadikan materi ini mudah dipahami!

Apa Itu Himpunan?

Secara sederhana, himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Kejelasan ini penting karena memungkinkan kita untuk menentukan apakah suatu objek termasuk anggota himpunan tersebut atau tidak.

Contoh:

• Himpunan warna pelangi: Merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu. (Kita bisa dengan jelas mengatakan apakah "hijau" adalah anggota himpunan ini).
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10: 2, 3, 5, 7. (Kita bisa dengan jelas mengatakan apakah "5" adalah anggota himpunan ini).

Yang BUKAN Himpunan:

• Himpunan anak-anak yang cantik. (Kecantikan bersifat subjektif, sehingga tidak jelas).
• Himpunan lukisan yang indah. (Keindahan juga bersifat subjektif).

Cara Menyatakan Himpunan

Ada beberapa cara untuk menyatakan atau menuliskan sebuah himpunan, masing-masing dengan keunggulannya sendiri:

1. Mendaftar Anggotanya (Enumerasi):
   Cara ini dilakukan dengan menyebutkan semua anggota himpunan di dalam kurung kurawal .

   • Contoh:
     • Himpunan huruf vokal: $A = a, i, u, e, o$
     • Himpunan bilangan asli kurang dari 5: $B = 1, 2, 3, 4$

2. Menggunakan Notasi Pembentuk Himpunan (Kondisi Anggota):
   Cara ini menyatakan himpunan dengan menyebutkan syarat atau aturan yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Formatnya adalah x atau x : syarat yang dipenuhi x .

   • Contoh:
     • Himpunan bilangan prima kurang dari 10: $C = x mid x text adalah bilangan prima dan x < 10 $
     • Himpunan huruf pada kata "MATEMATIKA": $D = x mid x text adalah huruf pada kata "MATEMATIKA" $ (Perlu diingat, dalam himpunan, anggota yang sama hanya ditulis sekali).

3. Menyatakan Sifat Keanggotaannya:
   Cara ini mirip dengan notasi pembentuk himpunan, namun lebih ringkas.

   • Contoh:
     • Himpunan bilangan genap.
     • Himpunan nama-nama hari dalam seminggu.

Istilah-Istilah Penting dalam Himpunan

• Anggota Himpunan (Elemen): Objek-objek yang terdapat dalam suatu himpunan.
  • Jika $x$ adalah anggota himpunan $S$, kita tulis $x in S$.
  • Jika $y$ bukan anggota himpunan $S$, kita tulis $y notin S$.
• Banyaknya Anggota Himpunan (Kardinalitas): Jumlah anggota dalam suatu himpunan. Dilambangkan dengan $n(S)$, di mana $S$ adalah nama himpunan tersebut.
  • Contoh: Jika $A = a, i, u, e, o$, maka $n(A) = 5$.
• Himpunan Kosong (Empty Set): Himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Dilambangkan dengan $emptyset$ atau .
  • Contoh: Himpunan bilangan prima yang habis dibagi 4.
• Himpunan Semesta (Universal Set): Himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Dilambangkan dengan huruf $S$ atau $U$.
  • Contoh: Jika kita membicarakan himpunan bilangan asli, maka himpunan semestanya bisa saja himpunan semua bilangan asli.

Diagram Venn

Diagram Venn adalah cara visual untuk merepresentasikan hubungan antar himpunan. Himpunan semesta biasanya digambarkan dalam bentuk persegi panjang, sementara himpunan-himpunan bagiannya digambarkan dalam bentuk lingkaran di dalamnya.

Operasi pada Himpunan

Di kelas 7, Anda akan mulai mempelajari operasi-operasi dasar pada himpunan:

1. Gabungan (Union):
   Gabungan dua himpunan $A$ dan $B$, dilambangkan dengan $A cup B$, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota $A$ atau anggota $B$ atau keduanya.

   • Dalam bentuk notasi: $A cup B = x mid x in A text atau x in B$
   • Contoh:
     Jika $A = 1, 2, 3, 4$ dan $B = 3, 4, 5, 6$, maka $A cup B = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

2. Irisan (Intersection):
   Irisan dua himpunan $A$ dan $B$, dilambangkan dengan $A cap B$, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota $A$ dan juga anggota $B$.

   • Dalam bentuk notasi: $A cap B = x mid x in A text dan x in B$
   • Contoh:
     Jika $A = 1, 2, 3, 4$ dan $B = 3, 4, 5, 6$, maka $A cap B = 3, 4$.

3. Selisih (Difference):
   Selisih himpunan $A$ dan $B$, dilambangkan dengan $A – B$, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota $A$ tetapi bukan anggota $B$.

   • Dalam bentuk notasi: $A – B = x mid x in A text dan x notin B$
   • Contoh:
     Jika $A = 1, 2, 3, 4$ dan $B = 3, 4, 5, 6$, maka $A – B = 1, 2$.
     Perhatikan bahwa $B – A = 5, 6$. Selisih bersifat tidak komutatif.

4. Komplemen (Complement):
   Komplemen dari himpunan $A$ terhadap himpunan semesta $S$, dilambangkan dengan $A^c$ atau $A’$, adalah himpunan yang anggotanya adalah semua anggota $S$ yang bukan anggota $A$.

   • Dalam bentuk notasi: $A^c = x mid x in S text dan x notin A$
   • Contoh:
     Jika $S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ dan $A = 1, 2, 3, 4$, maka $A^c = 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Contoh Soal SMP Kelas 7 Semester 1 dan Pembahasannya

Mari kita aplikasikan konsep-konsep di atas melalui berbagai contoh soal yang sering muncul di ujian maupun latihan soal.

Soal 1: Mengenal Himpunan dan Anggotanya

Diketahui himpunan $P$ adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 7.
a. Nyatakan himpunan $P$ dengan mendaftar anggotanya.
b. Tentukan banyaknya anggota himpunan $P$.
c. Periksa apakah $5 in P$ dan $8 notin P$.

Pembahasan:

• Bilangan cacah adalah bilangan bulat non-negatif, yaitu 0, 1, 2, 3, …
• Kurang dari 7 berarti bilangan tersebut harus lebih kecil dari 7.

a. Himpunan $P$ yang anggotanya bilangan cacah kurang dari 7 adalah:
$P = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$

b. Banyaknya anggota himpunan $P$ adalah jumlah elemen di dalamnya.
$n(P) = 7$

c. Untuk memeriksa keanggotaan:

• Apakah $5 in P$? Ya, karena 5 ada di dalam daftar anggota himpunan $P$.
• Apakah $8 notin P$? Ya, karena 8 tidak ada di dalam daftar anggota himpunan $P$ (dan memang 8 bukan bilangan cacah kurang dari 7).

Soal 2: Menyatakan Himpunan dengan Berbagai Cara

Diketahui himpunan $K$ adalah himpunan semua huruf pada kata "KREATIF".
a. Nyatakan himpunan $K$ dengan mendaftar anggotanya.
b. Nyatakan himpunan $K$ menggunakan notasi pembentuk himpunan.
c. Tentukan $n(K)$.

Pembahasan:

• Perhatikan bahwa dalam kata "KREATIF", huruf ‘T’ muncul dua kali. Dalam penulisan himpunan, anggota yang sama hanya ditulis sekali.

a. Dengan mendaftar anggota:
$K = K, R, E, A, T, I, F$

b. Menggunakan notasi pembentuk himpunan:
$K = x mid x text adalah huruf pada kata "KREATIF"$

c. Menghitung banyaknya anggota:
$n(K) = 7$

Soal 3: Operasi Gabungan dan Irisan (Bentuk Paling Sederhana)

Diketahui himpunan $A = 2, 4, 6, 8$ dan himpunan $B = 4, 8, 10, 12$.
Tentukan:
a. $A cup B$
b. $A cap B$

Pembahasan:

a. Gabungan $A cup B$: Kita gabungkan semua anggota $A$ dan $B$, pastikan tidak ada yang terulang.
Anggota $A$: 2, 4, 6, 8
Anggota $B$: 4, 8, 10, 12
Gabungan: 2, 4, 6, 8, 10, 12
$A cup B = 2, 4, 6, 8, 10, 12$

b. Irisan $A cap B$: Kita cari anggota yang sama-sama ada di $A$ dan di $B$.
Anggota yang sama: 4 dan 8
$A cap B = 4, 8$

Soal 4: Operasi Selisih dan Komplemen

Diketahui himpunan semesta $S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.
Himpunan $X = 2, 3, 5, 7$ dan himpunan $Y = 1, 3, 5, 7, 9$.
Tentukan:
a. $X – Y$
b. $Y – X$
c. $X^c$
d. $Y^c$

Pembahasan:

a. Selisih $X – Y$: Anggota $X$ yang TIDAK ada di $Y$.
Anggota $X$: 2, 3, 5, 7
Anggota $Y$: 1, 3, 5, 7, 9
Anggota $X$ yang tidak ada di $Y$ adalah 2.
$X – Y = 2$

b. Selisih $Y – X$: Anggota $Y$ yang TIDAK ada di $X$.
Anggota $Y$: 1, 3, 5, 7, 9
Anggota $X$: 2, 3, 5, 7
Anggota $Y$ yang tidak ada di $X$ adalah 1 dan 9.
$Y – X = 1, 9$

c. Komplemen $X^c$: Anggota $S$ yang TIDAK ada di $X$.
Anggota $S$: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Anggota $X$: 2, 3, 5, 7
Anggota $S$ yang tidak ada di $X$ adalah 1, 4, 6, 8, 9, 10.
$X^c = 1, 4, 6, 8, 9, 10$

d. Komplemen $Y^c$: Anggota $S$ yang TIDAK ada di $Y$.
Anggota $S$: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Anggota $Y$: 1, 3, 5, 7, 9
Anggota $S$ yang tidak ada di $Y$ adalah 2, 4, 6, 8, 10.
$Y^c = 2, 4, 6, 8, 10$

Soal 5: Menggunakan Diagram Venn

Dari 40 siswa di kelas 7A, diketahui 25 siswa gemar sepak bola dan 20 siswa gemar basket. Ada 10 siswa yang gemar keduanya.
a. Gambarkan diagram Venn dari data tersebut.
b. Tentukan banyaknya siswa yang hanya gemar sepak bola.
c. Tentukan banyaknya siswa yang hanya gemar basket.
d. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar sepak bola maupun basket.

Pembahasan:

• Himpunan semesta $S$ adalah seluruh siswa di kelas 7A, jadi $n(S) = 40$.
• Misalkan $A$ adalah himpunan siswa yang gemar sepak bola, maka $n(A) = 25$.
• Misalkan $B$ adalah himpunan siswa yang gemar basket, maka $n(B) = 20$.
• Siswa yang gemar keduanya adalah irisan, $n(A cap B) = 10$.

a. Menggambar Diagram Venn:

1. Buat persegi panjang untuk himpunan semesta $S$.
2. Buat dua lingkaran yang saling beririsan di dalamnya untuk himpunan $A$ dan $B$.
3. Tulis angka 10 di daerah irisan kedua lingkaran (ini adalah $A cap B$).
4. Hitung siswa yang hanya gemar sepak bola: $n(A text saja) = n(A) – n(A cap B) = 25 – 10 = 15$. Tulis angka 15 di bagian lingkaran $A$ yang tidak beririsan.
5. Hitung siswa yang hanya gemar basket: $n(B text saja) = n(B) – n(A cap B) = 20 – 10 = 10$. Tulis angka 10 di bagian lingkaran $B$ yang tidak beririsan.
6. Hitung total siswa yang gemar salah satu atau keduanya: $n(A cup B) = n(A text saja) + n(B text saja) + n(A cap B) = 15 + 10 + 10 = 35$.
7. Hitung siswa yang tidak gemar keduanya: $n(texttidak gemar keduanya) = n(S) – n(A cup B) = 40 – 35 = 5$. Tulis angka 5 di luar kedua lingkaran tetapi di dalam persegi panjang.

b. Siswa yang hanya gemar sepak bola:
Ini adalah bagian lingkaran $A$ yang tidak beririsan dengan $B$.
$n(A text saja) = n(A) – n(A cap B) = 25 – 10 = 15$ siswa.

c. Siswa yang hanya gemar basket:
Ini adalah bagian lingkaran $B$ yang tidak beririsan dengan $A$.
$n(B text saja) = n(B) – n(A cap B) = 20 – 10 = 10$ siswa.

d. Siswa yang tidak gemar sepak bola maupun basket:
Ini adalah bagian di luar kedua lingkaran tetapi di dalam himpunan semesta.
Total siswa yang gemar sepak bola atau basket atau keduanya adalah $n(A cup B) = 15 (texthanya bola) + 10 (texthanya basket) + 10 (textkeduanya) = 35$ siswa.
Maka, siswa yang tidak gemar keduanya adalah: $n(S) – n(A cup B) = 40 – 35 = 5$ siswa.

Soal 6: Soal Cerita Lanjutan dengan Operasi Himpunan

Dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa. Diketahui 18 siswa suka membaca, 15 siswa suka menulis, dan 7 siswa tidak suka keduanya.
a. Berapa banyak siswa yang suka membaca dan menulis?
b. Berapa banyak siswa yang hanya suka membaca?
c. Berapa banyak siswa yang hanya suka menulis?

Pembahasan:

• $n(S) = 30$
• Misalkan $M$ adalah himpunan siswa yang suka membaca, $n(M) = 18$.
• Misalkan $N$ adalah himpunan siswa yang suka menulis, $n(N) = 15$.
• Siswa yang tidak suka keduanya adalah $(M cup N)^c = 7$.

Kita tahu bahwa $n(S) = n(M cup N) + n((M cup N)^c)$.
Maka, $30 = n(M cup N) + 7$.
Ini berarti, $n(M cup N) = 30 – 7 = 23$ siswa.
Jadi, ada 23 siswa yang suka membaca atau menulis atau keduanya.

Kita juga tahu rumus untuk gabungan dua himpunan: $n(M cup N) = n(M) + n(N) – n(M cap N)$.
Sekarang kita bisa mencari irisan ($M cap N$, yaitu siswa yang suka membaca DAN menulis).

a. Banyak siswa yang suka membaca dan menulis ($n(M cap N)$):
$23 = 18 + 15 – n(M cap N)$
$23 = 33 – n(M cap N)$
$n(M cap N) = 33 – 23$
$n(M cap N) = 10$ siswa.

b. Banyak siswa yang hanya suka membaca ($n(M text saja)$):
$n(M text saja) = n(M) – n(M cap N)$
$n(M text saja) = 18 – 10 = 8$ siswa.

c. Banyak siswa yang hanya suka menulis ($n(N text saja)$):
$n(N text saja) = n(N) – n(M cap N)$
$n(N text saja) = 15 – 10 = 5$ siswa.

Verifikasi:
Jumlah semua bagian harus sama dengan himpunan semesta:
Siswa hanya membaca + Siswa hanya menulis + Siswa membaca dan menulis + Siswa tidak suka keduanya
$8 + 5 + 10 + 7 = 30$. (Cocok dengan $n(S)$).

Tips Sukses Belajar Himpunan

1. Pahami Definisi: Pastikan Anda benar-benar mengerti apa itu himpunan, anggota, dan syarat keanggotaan.
2. Biasakan Notasi: Terus berlatih menulis dan membaca notasi himpunan agar terbiasa.
3. Gunakan Diagram Venn: Untuk soal cerita atau soal yang melibatkan dua himpunan atau lebih, diagram Venn adalah alat bantu visual yang sangat efektif.
4. Latihan Soal Beragam: Kerjakan berbagai jenis soal, mulai dari yang paling sederhana hingga yang lebih kompleks.
5. Teliti Saat Menghitung: Terutama pada operasi selisih dan komplemen, perhatikan dengan cermat anggota mana yang masuk dan mana yang keluar.
6. Jangan Takut Bertanya: Jika ada konsep yang belum jelas, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman.

Penutup

Himpunan adalah fondasi penting dalam matematika. Dengan memahami konsep dasarnya, cara menyatakan himpunan, serta berbagai operasinya, Anda akan lebih siap menghadapi materi matematika selanjutnya. Latihan yang konsisten dengan contoh-contoh soal seperti di atas akan sangat membantu Anda menguasai topik ini. Ingatlah bahwa matematika adalah tentang pemahaman dan logika, bukan sekadar menghafal rumus. Selamat belajar dan semoga sukses!